Rend vagy rendetlenség-e a káosz?
(Rovat: Hazai kutatóhelyek és űripar - 2008.05.11 08:00.)

A cikkben a fizikai értelemben vett kaotikus rendszerek néhány tulajdonságát mutatjuk be, majd megvizsgáljuk, hogy teljesülhetnek-e ezek Föld körüli térségünkre is.

A káosz köznapi értelemben valamiféle rendezetlenséget, véletlenszerűséget, zavarodottságot, kiismerhetetlenséget jelent, mindenképpen egy olyan világot tehát, amiben átlátható szabályok, törvények egyáltalán nem ismerhetőek fel. A természettudományokban a káosz jelentése egy kissé más. A kaotikus rendszerek időbeli fejlődésében a kiismerhetetlenség valóban domináns, de a kiismerhetetlenségért nem a szabálynélküliség, hanem – ellenkezőleg – pontosan definiálható egyenletek felelősek. Az egyenletek véletlenszerű tagokat nem tartalmaznak, fizikai nyelven tisztán determinisztikusak. Ennek ellenére egy kaotikus rendszer viselkedése első ránézésre mégis teljesen véletlenszerűnek tűnhet, aminek oka az, hogy egy apró, fizikailag megragadhatatlan eltérés az egyenletek változóinak kiindulási értékében a rendszert rövid időn belül teljesen megjósolhatatlan állapotba juttatja. Egy kezdetben kicsiny különbség tehát néhány időlépés után hatalmas, és egyben előre jelezhetetlen eltéréshez vezethet.

Az egyik első példa kaotikus rendszert leíró egyenletre 1963-ból, Edward Lorenz amerikai meteorológustól származik, aki az alulról melegített folyadékréteg áramlásának hidrodinamikai modelljében bekövetkező áramlás szimulálására dolgozott ki háromdimenziós egyenletrendszert. A modell X, Y, és Z változói a folyadék mozgását és a hőmérséklet-eloszlását írták le, az egyenletrendszer leglényegesebb paramétereként pedig a folyadékréteg alsó és felső határa közötti ΔT hőmérséklet-különbség szerepelt. A hőmérséklet-különbség növelésével elérhető volt az, hogy a folyadék egy kezdeti periodikus konvekciós mozgása szabálytalan, kiismerhetetlen, kaotikus folyadékáramlásba váltson át. Megjegyezzük, hogy a kaotikus mozgás kialakulása szempontjából lényeges volt, hogy az egyenletek legalább három, egymással nemlineáris csatolást is mutató változót tartalmazzanak.

A kaotikus mozgások látszólagos szabálytalanságában határozottan megfigyelhető az egyenletek által diktált rendezőelv, determinizmus. Ennek érzékeltetéséhez be kell vezetnünk a fázistér fogalmát, ami a rendszer változóinak számával azonos dimenziójú, a változók által kifeszített teret jelenti. A rendszer egy-egy időpillanatban érvényes állapotát a fázistérben a változók adott pillanatban érvényes értékei alapján egy pont jelöli ki, az időbeli fejlődést pedig a pontok láncolata rajzolja meg. Az érdekes az, hogy a rendszert a változók egy adott tartományából – mint kezdeti értékekből – indítva, az időbeli fejődést mutató pontegyüttes minden esetben egy körbehatárolt alakzatra, az ún. különös attraktorra (vonzó halmazra) húzódik rá. Ennek alapján megmondható, hogy a változók az időfejlődés során a fázistér mely tartományán helyezkednek el, az viszont továbbra is megjósolhatatlan, hogy egy adott időpillanatban az attraktor mely konkrét pontját foglalják el.

A Lorenz-modell különös attraktora a háromdimenziós fázistérben. A fázistér egy adott tartományából indítva a rendszert, a változók által meghatározott pontsorozat az attraktorra húzódik rá.

A rendezőelv azonban nemcsak az attraktorok létében, hanem azok szerkezetében is megmutatkozik. Ha ugyanis tüzetesebben megvizsgáljuk a pontok halmazából kirajzolódó attraktort, észrevehetjük, hogy azon belül különböző nagyításokban bizonyos minták határozottan ismétlik egymást. Az ilyen jelenségeket fraktáloknak nevezzük, amelyekre a természetben – a minket körülvevő világ rendezőelveinek megnyilvánulásaként – számtalan egyéb példát is találhatunk (lásd pl. korábbi, a Fraktálok a magnetoszférában? c. cikkünket; link a lap alján).

Attraktor fraktál tulajdonsága. Az Hénon-attraktor egy kiragadott részlete különböző nagyításokban azonos mintát mutat.

Az elméleti modellekkel szemben a valódi kaotikus rendszerek tanulmányozása természetesen több nehézséget is felvet. Eredetileg nem ismerhetjük ugyanis a rendszer fejlődését valóban meghatározó változók számát, illetve magukat a változókat sem, sőt leggyakrabban a lehetséges változók csak egyikének-másikának időbeli változását figyelhetjük meg. Takens 1981-ben publikált ún. beágyazási dimenzió elmélete alapján azonban – a változóknak a kaotikus rendszerek vezérlésében lényeges nemlineáris kapcsolatai miatt – a fázistér már egy változó ismeretében is rekonstruálható, és ezáltal a rendszer időbeli fejlődésének lényeges elemei feltérképezhetők.

Erre az elméletre alapozva a magnetoszféra dinamikai változásainak esetleges kaotikus jellegét vizsgáltuk, mégpedig a rendszer egyik legjellemzőbb változója, a mágneses tér földi obszervatóriumokban észlelt változásai alapján. A kaotikus dinamika szempontjából két olyan időszakot hasonlítottunk össze, amikor a mágneses tér huzamosabb ideig nyugodt, illetve a Nap, és a napszél külső dinamikai hatásának következtében háborgatott volt (ld. a lenti ábrát).

A geomágneses tér „X” komponensének nyugodt (felső ábra) és háborgatott (alsó ábra) időszakokban regisztrált, másodperces mintavételű változása (csak relatív és nem abszolút értékek) a Tihanyi Geofizikai Obszervatóriumban.

Takens elméletét alkalmazva a két időszakra vonatkozóan rekonstruáltuk a fázistereket, illetve ebben a rendszer időbeli fejlődését reprezentáló pontok, egymással összekötött halmazát, az ún. fázistér trajektóriákat (ld. az utolsó ábrát). A két időszak trajektóriái közötti különbség szembetűnő; míg a nyugodt időszak trajektóriája egyfajta kesze-kuszaságot, véletlenszerűséget tükröz, addig a háborgatott időszak trajektóriája alacsonyabb dimenziójú, jól definiálható irányultságot jelez. Ennek alapján feltételezzük, hogy a magnetoszférában a determinisztikus hatások viharok idején a nyugodt periódusokhoz képest lényegesen felerősödnek, összefüggésben a magnetoszféra plazmájának koherens áramlásával, az áramrendszerek felépülésével.

A nyugodt (balra) és a háborgatott (jobbra) geomágneses időszakok alapján előállított fázistér trajektóriák háromdimenziós metszetei.

Kovács Péter
Eötvös Loránd Geofizikai Intézet

Köszönjük az Magyar Űrkutatási Iroda és a Környezetvédelmi és Vízügyi Minisztérium munkánkhoz nyújtott pályázati támogatását.